Questões de Matemática do UEL

• Probabilidade8% · 5 questões
• Geometria analítica: reta e mediatriz6% · 4 questões
• Geometria plana6% · 4 questões
• Operações e otimização5% · 3 questões
• Função exponencial3% · 2 questões
• Função quadrática3% · 2 questões
• Função tangente3% · 2 questões
• Funções exponencial e logarítmica3% · 2 questões

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UEL20261a faseQuestao 41MatemáticaGeometria espacialDificilAnulada

Práticas inadequadas de manejo do solo contribuem para um intenso processo de erosão hídrica. Em uma localidade, ao longo de vários meses, o escoamento superficial da água da chuva removeu camadas de solo, formando uma grande cratera a partir de um processo erosivo. Estima-se que, atualmente, essa cratera possui um formato de uma pirâmide hexagonal reta e regular, cuja profundidade é de 24 metros e a medida da diagonal da base é metade da medida da profundidade. Admita que cada metro cúbico de solo removido, nesta situação, corresponda a 1,5 toneladas. Com base no exposto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a massa de solo removida nesse processo erosivo, em toneladas. √

1. A)$324\sqrt{3}$
2. B)$486\sqrt{3}$
3. C)$972\sqrt{3}$
4. D)$1080$
5. E)$1296$

UEL20261a faseQuestao 44MatemáticaFunção tangenteMuito dificil

Em uma pesquisa sobre fenômenos naturais periódicos, estudantes observaram a variação da maré ao longo do dia 13 de maio de 2025, na Praia da Pipa (RN). O quadro a seguir mostra as alturas registradas (altura da maré — horário): 2,22 m às 04:47; 0,38 m às 10:34; 2,11 m às 17:10; 0,46 m às 22:47. Sabendo que o ciclo de maré ocorre aproximadamente a cada 12 horas, os estudantes decidiram modelar a altura $h(t)$ dessa maré, dada em metros, com uma função do tipo $h(t)=A\cdot \cos [B(t-C)]+D$, com $t\in \mathbb{R}$, em que: $t$ representa o tempo em horas, contado a partir da meia-noite ($t=0$); $A$ é a amplitude, obtida pela metade da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo das alturas observadas; $B=\frac{2\pi }{T}$, sendo $T$ o período do ciclo em horas; $C$ é obtido a partir do horário da maré mais alta; $D$ é o valor médio entre o valor máximo e o valor mínimo das alturas observadas. Com base no exposto, assinale a alternativa que apresenta, correta e respectivamente, a função $h$ e a energia potencial gravitacional de um zooplâncton de massa $m=0,001$ kg no horário da maré mais alta.

1. A)$h(t)=0,92\cdot \cos \left(\frac{\pi }{6}(t-4,78)\right)+1,30$ e $E_{pg}=2,22\times 10^{-2}$ J
2. B)$h(t)=1,30\cdot \cos \left(\frac{\pi }{6}(t-4,47)\right)+1,30$ e $E_{pg}=4,60\times 10^{-3}$ J
3. C)$h(t)=1,30\cdot \cos \left(\frac{\pi }{12}(t-2,18)\right)+0,88$ e $E_{pg}=2,22\times 10^{-2}$ J
4. D)$h(t)=0,92\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{24}(t-4,78)\right)+1,30$ e $E_{pg}=4,60\times 10^{-3}$ J
5. E)$h(t)=1,30\cdot \cos \left(\frac{\pi }{12}(t+4,47)\right)+0,88$ e $E_{pg}=2,22\times 10^{-2}$ J

UEL20261a faseQuestao 52MatemáticaProgressões e funções exponenciaisDificil

A imagem a seguir representa o crescimento de uma colônia fúngica, durante $t$ dias consecutivos, sendo que a área ocupada pela colônia foi aumentando ao longo dos dias. Considere que a colônia cresce formando uma região circular, cujo raio $r$, em milímetros, aumenta em uma progressão geométrica de razão 1,2 por dia. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. I. A lei de formação da função $A$, que representa a área total da colônia em função do tempo $t$, é dada por $A(t)=r_0(1,2{)}^{2t}$, sendo $r_0$ o raio inicial. II. O crescimento da área da colônia é dado por uma função quadrática. III. A lei de formação da função $R$, que representa a medida do raio em função do tempo $t$, é dada por $R(t)=r_0(1,2{)}^t$, sendo $r_0$ o raio inicial. IV. Admitindo $r_0=5$, a área ocupada pela colônia em $t=4$ é maior que $105\pi m{m}^2$. Assinale a alternativa correta.

1. A)Somente as afirmativas I e II são corretas.
2. B)Somente as afirmativas I e IV são corretas.
3. C)Somente as afirmativas III e IV são corretas.
4. D)Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
5. E)Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

UEL20261a faseQuestao 56MatemáticaMatrizesMuito dificil

Definição: dada uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$, o polinômio de grau $n$ dado por $p(x)=\det (A-x{I}_n)$ é denominado polinômio característico da matriz $A$, em que $I_n$ é a matriz identidade de ordem $n$. Com base nessas informações e admitindo a matriz $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$, considere as afirmativas a seguir. I. O polinômio característico de $A$ é $p(x)=x^2-x+2$. II. O polinômio característico de $A$ é dado por $\left[\begin{array}{cc}1-x& 1-x\\ 2-x& -x\end{array}\right]$. III. As raízes do polinômio característico de $A$ são $x^{\prime }=-1$ e $x^{\prime \prime }=2$. IV. $\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$. Assinale a alternativa correta.

1. A)Somente as afirmativas I e II são corretas.
2. B)Somente as afirmativas I e IV são corretas.
3. C)Somente as afirmativas III e IV são corretas.
4. D)Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
5. E)Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

UEL20251a faseQuestao 6MatemáticaSequências e padrõesDificil

Os frutos do girassol formam espirais que, contadas separadamente à esquerda e à direita, não coincidem; em uma figura, as espirais totalizam 34 em um sentido e 21 no outro. Tais quantidades pertencem ao conjunto $F=\{1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots \}$. Seja $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ e admita que $F$ é o conjunto imagem da função $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisfaz $f(1)=1$, $f(2)=1$ e $f(n+2)=f(n+1)+f(n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente e para todo $n\in \mathbb{N}$, o valor de $f(n+5)$ em função de $f(n+1)$ e de $f(n)$.

1. A)$f(n+1)+f(n)$
2. B)$f(n+1)+2f(n)$
3. C)$2f(n+1)+3f(n)$
4. D)$5f(n+1)+3f(n)$
5. E)$5f(n+1)+8f(n)$

UEL20251a faseQuestao 34MatemáticaComposição de funçõesDificil

Lorenz cunhou a expressão "efeito borboleta": pequenas diferenças, quando acumuladas, resultam em alterações significativas (o caos matemático). Considere a função $B:[0,1]\to [0,1]$ dada por $B(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& \text{se }0\le x\le \frac{1}{2}\\ 2x-1,& \text{se }\frac{1}{2}<x\le 1\end{array}$ Seja $F=\underset{10\text{vezes}}{\underbrace{B\circ B\circ \cdots \circ B}}$, isto é, $B$ composta com ela mesma dez vezes. Embora $F(0,333)=0,992$, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de $F\left(\frac{1}{3}\right)$.

1. A)$0,340$
2. B)$\frac{1}{2}$
3. C)$1$
4. D)$0,668$
5. E)$\frac{1}{3}$

UEL20251a faseQuestao 36MatemáticaProbabilidadeDificil

Sabe-se que $\pi$ é um número irracional (representação decimal infinita e não periódica). Considere um dado honesto de dez lados, com faces $0,1,\dots ,9$. Para gerar um número racional que aproxime $\pi$, um professor lança o dado 4 vezes, de modo independente e aleatório, e denomina $d_1,d_2,d_3,d_4$ os resultados. Define então $x=3+\frac{d_1}{10^1}+\frac{d_2}{10^2}+\frac{d_3}{10^3}+\frac{d_4}{10^4}$ e calcula $\epsilon (x)=|x-\pi |$. Sabendo que $\pi =3,1415926535\dots$, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de se gerar um número $x$ tal que $\epsilon (x)>\frac{9}{10}$.

1. A)$\frac{0}{10^4}$
2. B)$\frac{1}{10^4}$
3. C)$\frac{2}{10^4}$
4. D)$\frac{3}{10^4}$
5. E)$\frac{4}{10^4}$

UEL20251a faseQuestao 37MatemáticaRaciocínio lógico e códigosMedia

Um homem, um lobo, uma cabra e um repolho têm que atravessar um rio em um pequeno barco. No barco, o homem só pode levar ou o lobo, ou a cabra, ou o repolho, e ele não pode deixar, do lado do rio, o lobo sozinho com a cabra, nem a cabra sozinha com o repolho. Como fazer esta travessia? Alcuino, Proposições para Instruir os Jovens in WELLS. D. Jogos e Matemática: NYC: Cambridge Press, 2012, p. 3 Alcuíno, autor do texto, foi um matemático, filósofo, poeta e bispo de York que se estabeleceu em Aachen, no Império Carolíngio. Seguindo a regra estabelecida na proposição de Alcuíno, uma solução para a travessia é: (1ª viagem) o homem atravessa com a cabra, deixa-a na margem oposta e volta sozinho; (2ª) atravessa com o lobo, deixa-o e volta com a cabra; (3ª) deixa a cabra na margem inicial e atravessa com o repolho, que fica com o lobo, voltando sozinho; (4ª e última) atravessa com a cabra. As quatro viagens são feitas na perpendicular ao rio, de largura $L>0$. Com base na proposição e na solução apresentada, considere as afirmativas a seguir. I. O deslocamento descrito pelo homem, ao final de todo o procedimento, é igual à largura $L$ do rio. II. A probabilidade de se ter uma viagem na qual ocorre o transporte da cabra é de 75%. III. A distância percorrida pela cabra, ao final de todo o procedimento, é igual a três vezes a largura $L$ do rio. IV. A equação polinomial de segundo grau $x^2+L=0$ admite pelo menos uma raiz real. Assinale a alternativa correta.

1. A)Somente as afirmativas I e II são corretas.
2. B)Somente as afirmativas I e IV são corretas.
3. C)Somente as afirmativas III e IV são corretas.
4. D)Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
5. E)Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

UEL20251a faseQuestao 44MatemáticaFunções polinomiaisDificil

O processador de um computador realiza apenas as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão); por isso, aproximar funções por polinômios é de grande valia. Seja $x\in \mathbb{R}$ um ângulo expresso em radianos e admita que uma calculadora aproxime a função cosseno pelo polinômio $P:[-\pi ,\pi ]\to \mathbb{R}$ tal que $P(x)=1-\frac{x^2}{2!}$. Um professor esboça os gráficos de cosseno e de $P$ no intervalo $[-\pi ,\pi ]$, conforme as figuras a seguir. Considere as afirmativas a seguir. I. $P\left(\frac{\pi }{2}\right)<\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)$. II. A figura 2 pode representar a aproximação de um pulso de onda elétrica no processador, com módulo de amplitude igual a 0. III. A imagem de $P$ é igual à imagem da função cosseno no intervalo $[-\pi ,\pi ]$. IV. A figura 1 pode representar a aproximação de um pulso de onda elétrica no processador, com módulo de amplitude igual a 2. Assinale a alternativa correta.

Imagens anexadas

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1. A)Somente as afirmativas I e II são corretas.
2. B)Somente as afirmativas I e IV são corretas.
3. C)Somente as afirmativas III e IV são corretas.
4. D)Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
5. E)Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

UEL20251a faseQuestao 46MatemáticaGeometria planaDificil

Fixada uma unidade de comprimento, um número $a>0$ é chamado de construtível se, usando apenas régua não graduada e compasso, for possível construir, em um número finito de passos, um segmento de reta de comprimento $a$. Sabe-se que $\sqrt{5}$, $\sqrt{3}$ e $\sqrt{2}$ são exemplos de irracionais construtíveis. Tome um quadrado $PUVQ$ de lado duas unidades. Seja $M$ o ponto médio do segmento $\overline{QV}$ e seja $R$ o ponto de interseção da semirreta $\overrightarrow{QV}$ com a circunferência de centro $M$ e raio $\overline{MU}$. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a medida do raio $\overline{MU}$ e do segmento $\overline{QR}$, respectivamente.

1. A)$\sqrt{2}$ e $1+\sqrt{2}$
2. B)$\sqrt{3}$ e $1+\sqrt{3}$
3. C)$\sqrt{5}$ e $1+\sqrt{5}$
4. D)$\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
5. E)$\sqrt{5}$ e $\frac{1}{2}+\sqrt{5}$

UEL20251a faseQuestao 49MatemáticaFunção exponencialDificil

Um banco oferece a um cliente um empréstimo de valor $C>0$, que será pago em $n$ parcelas mensais fixas de valor $P$, de modo que $C\cdot j-C<P<C$, onde $j>1$ é um número real dado. De acordo com o contrato, a função $D:\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^{+}$ dada por $D(n)=C\cdot j^n-P\cdot \frac{j^n-1}{j-1}$ indica o saldo devedor do cliente ao final do mês $n$, já incluído o pagamento da $n$-ésima parcela. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de $n$ para o qual $D(n)=0$, isto é, quando o cliente quita sua dívida.

1. A)$n={\log }_C\frac{P}{P-C\cdot (j-1)}$
2. B)$n={\log }_P\frac{-P}{P-C\cdot (j-1)}$
3. C)$n={\log }_j\frac{P}{P-C\cdot (j+1)}$
4. D)$n={\log }_j\frac{P}{P+C\cdot (j-1)}$
5. E)$n={\log }_j\frac{P}{P-C\cdot (j-1)}$

UEL20241a faseQuestao 8MatemáticaOperações e otimizaçãoDificil

Leia o texto a seguir. A unidade é indispensável: simplesmente para que qualquer coisa seja, exista, deve, como verdadeira afirmação de si mesma, negar aquilo que não é. Da unidade, segue que $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$. Já a criação do zero cunha uma separação entre nosso sistema de símbolos numéricos e a estrutura do mundo natural, levando-nos a considerar o conjunto $\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$. Adaptado de: Robert Lawlor. Mitos, Deuses, Mistérios: Geometria Sagrada. Edições del Prado, 1982. Há uma função $f$ que relaciona os conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ apresentados no texto. Considere $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ dada por $f(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2},& \text{se }n\text{ eˊ par}\\ \frac{-n+1}{2},& \text{se }n\text{ eˊ ıˊmpar}\end{array}$ Sobre a função $f$ e os conjuntos presentes no enunciado, assinale a alternativa correta.

1. A)Existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $f(n)=\frac{-1023+1}{2}$.
2. B)$f(2n)+f(2n+1)=0$ para todo $n\in \mathbb{N}$.
3. C)Não existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $f(n)=-15$.
4. D)Se $n,m$ são naturais ímpares tais que $f(n)=f(m)$, então $n\ne m$.
5. E)Sendo a unidade indispensável, $f(2n)+n=1$ para todo $n\in \mathbb{N}$.