No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há um uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro. Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para p.
Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é
O estádio do Maracanã passou por algumas modificações estruturais para a realização da Copa do Mundo de 2014, como, por exemplo, as dimensões do campo retangular. Para se adaptar aos padrões da Fifa, as dimensões do campo foram reduzidas de 110 m × 75 m para 105 m × 68 m. Disponível em: http://virgula.uol.com.br. Acesso em: 14 ago. 2013 (adaptado). Em quantos metros quadrados a área do campo do Maracanã foi reduzida?
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro. Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: • tipo I: α = 15° e R = 20 m; • tipo II: α = 30° e R = 22 m; • tipo III: α = 40° e R = 12 m; • tipo IV: α = 60° e R = 16 m; • tipo V: α = 90° e R = 10 m. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m2, com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para π. O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano. A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área. O jardineiro escolherá a forma de
A)hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 24k23
B)hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 163k23
C)quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 16k2
D)triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 36k23
E)triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 4k23
Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q1 representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q2, Q3, Q4, Q5 e Q6 também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. O jogador Q1 passará a bola para o jogador da posição Qn (n entre 2 e 6) cujo ângulo AQnB tenha a metade da medida do ângulo AQ1B. Qual é o jogador que receberá a bola?
As figuras pintadas no quadro da sala de estar de uma residência representam as silhuetas de parte das torres de um castelo e, ao fundo, a de uma lua cheia. A lua foi pintada na forma de um círculo, e o telhado da torre mais alta, na forma de triângulo equilátero, foi pintado sobrepondo parte da lua. O centro da lua coincide com um dos vértices do telhado da torre mais alta. Nesse quadro, a parte da lua escondida atrás da torre mais alta do castelo pode ser representada por um
Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m. 5 m Calçada 5 m Piscina 5 m 5 m Qual é a medida da área, em metro quadrado, ocupada pela calçada?
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo, sendo a o maior lado. Esses valores são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3. Quando o triângulo é retângulo (a sendo a hipotenusa), o teorema de Pitágoras assegura que área(C1) = área(C2) + área(C3). Um professor de matemática, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde as pizzas são circulares, dividiu três pizzas ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas. A partir da medida do ângulo α, oposto ao maior lado a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas. A área da pizza do professor é maior do que a soma das áreas das outras duas, pois
Uma pessoa comprou um ingresso para o cinema em cuja entrada está afixado um mapa com a representação bidimensional do posicionamento das poltronas, conforme a figura. Após consultar o mapa, ela começou a subir uma das escadas e parou na posição indicada pela estrela, direcionada para o norte. Conferindo o bilhete, observou que, para encontrar sua poltrona, deveria partir desse ponto, continuar subindo a escada na direção norte por mais quatro fileiras e olhar à sua direita, sendo sua poltrona a terceira. As poltronas são identificadas por uma letra (a fileira) e um número (a posição na fileira). A poltrona dessa pessoa é a identificada por
O professor de artes orientou seus estudantes a realizarem a seguinte sequência de atividades: dobrar uma folha de papel em formato quadrado duas vezes, em sequência, ao longo das linhas tracejadas (figuras 1 e 2), obtendo o papel dobrado (figura 3). Em seguida, no papel dobrado da figura 3, considerar o ponto R sobre o segmento OM, sendo M o ponto médio do lado do quadrado original, de modo que OR=21OM; traçar, com centro em R, um arco de circunferência de raio 41OM (figura 4). Por último, recortar o papel ao longo do arco e excluir a parte que contém o setor circular, obtendo o papel dobrado da figura 5. Após desdobrado o papel que restou na figura 5, a figura plana que os estudantes obterão será
Uma empresa de engenharia projetou uma casa com a forma de um retângulo. O cliente solicitou a inclusão de uma varanda em forma de L. A planta baixa, na escala 1:50, apresenta as medidas (em centímetro) das dimensões da varanda: a parte superior da varanda tem 16 cm de largura e 5 cm de altura; a lateral esquerda da varanda mede 18,4 cm de altura no total, e a faixa vertical da varanda tem 4 cm de largura. A medida real da área da varanda, em metro quadrado, é
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