Questões de Matemática do FUVEST

• Geometria espacial12% · 16 questões
• Geometria plana8% · 11 questões
• Operações e otimização7% · 9 questões
• Geometria analítica: reta e mediatriz6% · 8 questões
• Trigonometria e vetores6% · 8 questões
• Probabilidade5% · 7 questões
• Análise combinatória4% · 6 questões
• Sistemas de equações4% · 6 questões

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FUVEST20261a faseQuestao 3MatemáticaAnálise combinatóriaMuito dificilAnulada

Em uma eleição para um conselho composto por 5 membros, existem 7 candidatos inscritos e um total de 35 eleitores. São eleitos os 5 candidatos com mais votos, sendo o critério de desempate a idade, isto é, se houver uma só vaga para dois candidatos que empataram em número de votos, o candidato mais velho é eleito e o mais novo, não. Aleph, que é o mais novo dentre todos os candidatos, está analisando quantos votos precisa para garantir sua eleição. Sabendo que cada eleitor tem direito a votar em somente um candidato e que, geralmente, nessas eleições, um ou dois dos eleitores não comparecem para votar, pode-se afirmar:

1. A)Se um ou dois eleitores não comparecerem, Aleph será eleito se tiver pelo menos 5 votos.
2. B)Aleph não será eleito com 5 votos, mesmo que um ou dois eleitores não compareçam.
3. C)Caso dois eleitores não compareçam, Aleph precisará receber 5 votos para se eleger. Mas, se apenas um eleitor não comparecer, 5 votos não garantem sua eleição.
4. D)Na hipótese de dois eleitores não comparecerem, Aleph precisa que um dos eleitos tenha recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos.
5. E)Na hipótese de apenas um dos eleitores não comparecer, Aleph precisa que dois dos eleitos tenham recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos.

FUVEST20261a faseQuestao 4MatemáticaLogaritmos e funçõesDificil

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia $E$ de um sistema, a saber $E=-{\sum }_i{P}_i(x){\log }_2{P}_i(x)$ em que $P_i(x)$ é a probabilidade do $i$-ésimo resultado para a variável $x$. Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha (AA). A probabilidade de se retirar de uma urna, sem observar, a letra azul é $\frac{1}{2}$; devolvendo e sorteando de novo, a de sair vermelha é $\frac{1}{2}$, e nesse caso $E=-\left(\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}\right)=1$. Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas (AAAA), tem-se $E=-\left(\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}\right)=2$. Com base nessas informações, qual o valor da entropia $E$, no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha (AAAA)?

1. A)$5-\frac{9}{4}{\log }_{2}3$
2. B)$\frac{1}{2}-\frac{5}{4}{\log }_{2}3$
3. C)$\frac{3}{4}$
4. D)$\frac{5}{4}{\log }_{2}3$
5. E)$3$

FUVEST20261a faseQuestao 6MatemáticaGeometria espacialDificil

Para uma atividade de campo voltada à valorização do patrimônio histórico e cultural, professores de geografia levaram seus estudantes a um parque temático de monumentos geográficos. Eles visitaram a réplica de uma pirâmide regular de base quadrada com vértice a 18 metros de altura em relação ao centro da base. As faces da pirâmide estão voltadas para as direções norte, sul, leste e oeste. Para acessar o vértice da pirâmide, os estudantes precisaram percorrer uma trilha de pedestre e subir a rampa localizada na face norte. A trilha compreende os lados oeste, sul, leste e metade do lado norte do quadrado. Essa rampa está localizada exatamente no meio da face, ou seja, é o apótema da pirâmide. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 864 m3, quantos metros, aproximadamente, os estudantes tiveram que percorrer para chegar até o topo da pirâmide?

1. A)36
2. B)41
3. C)48
4. D)54
5. E)61

FUVEST20261a faseQuestao 7MatemáticaTrigonometria e vetoresMedia

Considere a equação trigonométrica $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}+\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}(2x)-\cos \pi$ para $x\in \mathbb{R}$, $0\le x<2\pi$. Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira: $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}+\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}(2x)-\cos \pi$ $1+\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}(2x)+1$ $\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}(2x)$ $\mathrm{sen}x=2\mathrm{sen}x$ $2\mathrm{sen}x-\mathrm{sen}x=0$ $\mathrm{sen}x=0$ $x=0\text{ ou }x=\pi$ A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

1. A)considerou que $\cos \pi$ vale 1.
2. B)não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
3. C)considerou que $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}$ vale 1.
4. D)não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
5. E)apresentou duas respostas e não apenas uma.

FUVEST20261a faseQuestao 18MatemáticaFunções exponencial e logarítmicaMedia

Uma startup de tecnologia está desenvolvendo um novo aplicativo e observa que o número de usuários está crescendo, em milhares, após $t$ semanas do lançamento, de acordo com a função: $M(t)=200\times (1,1{)}^t$ Com isso, a equipe da startup quer saber: qual é o período, em semanas, em que o número de usuários ultrapassa 300 mil? Note e adote: $\log 3\cong 0,4771$; $\log 5\cong 0,6990$ e $\log 11\cong 1,0414$.

1. A)Entre 0 e 1 semana.
2. B)Entre 1 e 3 semanas.
3. C)Entre 2 e 4 semanas.
4. D)Entre 3 e 4 semanas.
5. E)Entre 4 e 6 semanas. Note e adote: 𝑙𝑜𝑔3 ≅0,4771 ; 𝑙𝑜𝑔5 ≅0,6990 e 𝑙𝑜𝑔11 ≅1,0414

FUVEST20261a faseQuestao 30MatemáticaGeometria espacialMedia

O Brasil é o líder mundial em reciclagem de alumínio, atingindo números próximos a 99% de latas recicladas no ano de 2021. Essas latas, já utilizadas para refrigerantes, cervejas e energéticos, agora começam a trazer também água mineral em seu interior. Considere que uma empresa deseja envasar 350 mL de água em uma lata de alumínio de formato cilíndrico e que, por razões práticas como o manuseio e o custo do material, o diâmetro da base dessa lata deve ter entre 5 cm e 8 cm. Qual será, aproximadamente, em centímetros, a menor altura possível da lata? Note e adote: $\pi \cong 3,14$.

1. A)5
2. B)7
3. C)13
4. D)18
5. E)28

FUVEST20261a faseQuestao 36MatemáticaTrigonometria e vetoresDificil

Para realizar o cálculo da diferença de altitude (altura) entre dois pontos A e B, localizados no terreno, um técnico utilizou uma Estação Total (ET), equipamento usado para medir a diferença entre níveis de pontos distintos. Ele posicionou o equipamento, que tem 1,6 m de altura, em um ponto M, equidistante na horizontal dos pontos A e B, a 40 m de cada um, nos quais estão os prismas de leitura (miras), conforme a figura a seguir. Admitindo-se que o ângulo de inclinação descendente, ${\alpha }_A$, é $7^{\circ }$ e o ângulo de inclinação ascendente, ${\alpha }_B$, é $5^{\circ }$, e que a leitura no prisma, $h_B$, no ponto B foi de 3,60 m, determine a diferença de altitude (altura), em metros, entre os pontos A e B. Note e adote: $\tan (5^{\circ })\cong 0,087$ e $\tan (7^{\circ })\cong 0,122$.

Imagens anexadas

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1. A)1,60
2. B)2,80
3. C)3,16
4. D)3,96
5. E)4,80 Note e adote: 𝑡𝑎𝑛(5°) ≅0.087 e 𝑡𝑎𝑛(7°) ≅0.122

FUVEST20261a faseQuestao 37MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizDificil

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos 𝐴= (0,0), 𝐵= (8,0), C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro. Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência 𝑃, conforme a figura? Imagem sem escala

Imagens anexadas

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1. A)$(x-14{)}^2+(y-4{)}^2=36$
2. B)$(x-18{)}^2+(y-4{)}^2=100$
3. C)$(x-8{)}^2+(y-24{)}^2=36$
4. D)$x^2+y^2=36$
5. E)$(x-4{)}^2+(y-24{)}^2=100$

FUVEST20261a faseQuestao 55MatemáticaTeoria dos números (divisores)Dificil

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número $n$ (para $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro "Elementos": se $2^n-1$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^n-1)$ é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

1. A)Com exceção de $n=1$, os 5 primeiros termos da sequência $(a_n)=(2^n-1)$ são números primos.
2. B)Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
3. C)Os números 28 e 31 são números perfeitos.
4. D)Na proposição de Euclides, para $n=4$, obtemos que $2^4-1$ não é primo, mas que $2^3(2^4-1)$ é perfeito.
5. E)A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de $(a_n)=(2^n-1)$ é uma progressão aritmética de razão 2.

FUVEST20261a faseQuestao 74MatemáticaTransformações de gráficos de funçõesDificil

Observe a imagem a seguir. Com base nos gráficos das funções apresentados na imagem, é correto afirmar que:

Imagens anexadas

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1. A)$w(x)=2h(x)$ e $n(x)=-f(x-4)$
2. B)$h(x)=f(x)-2$ e $m(x)=f(x-3)$
3. C)$w(x)=2f(x)$ e $g(x)=f(x/2)$
4. D)$n(x)=-m(x+1)$ e $g(x)=f(2x)$
5. E)$m(x)=f(x+3)$ e $h(x)=f(x)+2$

FUVEST20251a faseQuestao 16MatemáticaPorcentagem e equaçõesFacil

A construção de uma rampa que seja acessível a usuários de cadeira de rodas deve seguir a norma ABNT NBR 9050. Esse documento regulamenta a inclinação que a rampa deve ter a depender do desnível máximo de cada segmento de rampa, conforme o seguinte quadro (Inclinação e desnível máximo de cada segmento de rampa): para $1<h\le 1,5$, inclinação $i=5$; para $0,8<h\le 1$, inclinação $5<i\le 6,25$; para $0<h\le 0,8$, inclinação $6,25<i\le 8,33$ (com $h$ em metros e $i$ em %). A inclinação $i$ da rampa em porcentagem (%) é calculada dividindo a altura $h$ do desnível do segmento da rampa, em metros, pelo comprimento da projeção horizontal $c$, em metros, e multiplicando o resultado por 100, ou seja, $i=\frac{h}{c}\cdot 100$. A figura mostra uma rampa de dois segmentos. Determinada rampa de dois segmentos foi construída da seguinte maneira: o primeiro segmento possui projeção horizontal de 10 m e inclinação de 6%; o segundo segmento possui projeção horizontal de 7 m e desnível de 0,5 m. Com base no que foi apresentado sobre a normativa, o que é correto afirmar sobre a adequação dessa rampa à norma de acessibilidade?

Imagens anexadas

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1. A)A rampa não está adequada, pois os dois segmentos não estão de acordo com a norma.
2. B)A rampa está adequada, pois os dois segmentos estão de acordo com a norma.
3. C)A rampa não está adequada, pois o primeiro segmento não está de acordo com a norma.
4. D)A rampa não está adequada, pois o segundo segmento não está de acordo com a norma.
5. E)A rampa está adequada, pois, apesar de o segundo segmento não estar de acordo com a norma, o primeiro está.

FUVEST20251a faseQuestao 17MatemáticaGeometria analítica: reta e mediatrizFacil

A imagem mostra um cruzamento da Rua da Consolação, na região central da cidade de São Paulo, em que há faixas de pedestre em diferentes direções. Uma pessoa parte do ponto $O$ e deseja chegar ao ponto $C$. Para tanto, percorre o trajeto pela faixa que liga $O$ a $B$ e, em seguida, utiliza a faixa que liga $B$ a $C$. Considere que as coordenadas dos pontos indicados na figura, em metros, são: $O(0,0)$, $B(13,-15)$ e $C(29,-8)$. Seja $d$ a distância, em metros, que essa pessoa deixaria de percorrer se tivesse optado por fazer a travessia pela faixa de pedestre que liga $O$ a $C$. Nesse contexto, é correto afirmar:

Imagens anexadas

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1. A)$d<2$
2. B)$2\le d<5$
3. C)$5\le d\le 8$
4. D)$8<d\le 11$
5. E)$11<d$